Фигурные числа пифагорейцев

Как уже отмечалось, согласно пифагорейскому учению, в основе мира лежат числа (натуральные). При этом пифагорейцы понимали число не просто как набор единиц, а как некие структуры, которые можно изобразить, выкладывая камешками, в форме определенных фигур.

Арифметика пифагорейцев была поэтому тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее.

Рис. 1. Класс треугольных чисел

 

Рис. 2. Класс квадратных чисел

 

Рис. 3. Класс пятиугольных чисел

Такое представление наглядно демонстрирует важные свойства чисел той или иной формы. Например, разность идущих друг за другом квадратных чисел (то есть полных квадратов) равна нечетному числу:

4 – 1 = 3,

9 – 4 = 5,

16 – 9 = 7,

25 – 16 = 9 и так далее.

Сейчас мы бы стали это доказывать, используя выражения n2 и (n + 1)2 для двух последовательных квадратов, выражение (2n + 1) для очередного нечетного числа и формулу разности квадратов:

(n + 1)2 – n2 = (n + 1 – n) (n + 1 + n) = 2n + 1,

а пифагорейцы наглядно видели, что каждый квадрат отличается от следующего на «гномон», то есть на уголок с равными сторонами, в котором нечетное число точек – вершина плюс дважды взятое число точек на стороне гномона (по-гречески слово «гномон» исходно означало солнечные часы).

Нетрудно также видеть, что сумма последовательных гномонов является квадратом, то есть в современных обозначениях:

n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1).

Рис. 4. Площадь гномона

Еще один наглядный факт: любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. С помощью фигурного представления нетрудно получить и общую формулу для n-го треугольного числа: а именно, из двух таких чисел составляется прямоугольник, стороны которого отличаются на единицу, поэтому его площадь равна n (n + 1), а n-е треугольное число:

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) / 2. 

Рис. 5. Квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел

Пифагорейцы рассматривали и пространственные фигурные числа, например, кубы 1, 8, 27 и так далее, а также пирамидальные числа, равные сумме треугольных.

Рис. 6. Класс кубических чисел

 

Рис. 7. Класс пирамидальных чисел

Возможно, учение пифагорейцев было своеобразным вариантом атомизма, а изображаемые фигуры указывали на способ комбинации элементов или атомов того или иного тела – таким образом, фраза «всё есть число» означала, что суть вещи, по пифагорейцам, заключалась не в самих составных частях, а в способе их комбинации. В этом смысле структурные числа пифагорейцев были аналогом структурных формул современной химии. Некоторые исследователи усматривают корни пифагорейского представления о фигурных числах в наблюдении созвездий, которые отличаются друг от друга именно формой, образуемой звездами.

Пифагорейцам была присуща и особая числовая мистика. Так, 4 – первый квадрат, или первое число вида n × n (после 1), – по их мнению, было число справедливости, так как справедливость состоит в воздаянии равным за равное (n за n). Особенно почиталось у пифагорейцев число 10 = 1 + 2 + 3 + 4: 1 – единица, «матерь всех чисел», 2 выражает линию, 3 – треугольник, а 4 – пирамиду: фактически, на минимальном из отрезков, изображающем линию, должно быть две точки, минимальное число точек, которые нужны для изображения плоской фигуры, – три, а минимальное число точек, которые нужны для изображения пространственной фигуры, – четыре. Кроме того, из чисел, меньших 10, столько же простых, сколько и составных. Поскольку 10, кроме того, само является треугольным числом со стороной, равной 4, число 4, как бы в зародыше содержащее 10, также считалось священным и именовалось «истоком и корнем высшей природы». Величайщей клятвой у пифагорейцев считалась клятва Четверицей.

Рис. 8. Число десять – одно из самых интересных пифагорейских чисел